史济怀老师视频课微分方程部分——
&3.二阶线性微分方程的一般理论
&3.2二阶线性非齐次方程解的结构
(相关资料图)
问题：设y0(x)是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一个特解，y1(x)，y2(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一个基本解组，则y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解是y=y0(x)+c1y1(x)+c2y2(x)，求满足条件的一对c1，c2。
解：
已知y*(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，要确定一对c1，c2，使得y*(x)是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一个解；
求导
因为要找一组c1，c2即可，所以为了方便讨论，不妨设
那么
又有
于是我们得到关于c1(x)'、c2(x)'的方程组：
——第一个式子来自于前面我们的假设；
方程对应的系数行列式为：
根据克莱姆法则，该方程组的解为：
将上述导数分别积分即得所求：